Intégrale - Intégration

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Concept de base

Intégration : mesure d'ensemble de variations de fonctions

Intégrale d’une fonction en escalier

Définition

Sur l'intervalle [0,1]

Fonction en escalier

Définition :
Soit \((a_j\lt b_j)\) une famille finie de points de l'intervalle \([0,1]\) et soit $${{\Bbb 1_{]a_j,b_j[}(x) }}={{\begin{cases}1&\text{si}\quad a_j\lt x\lt b_j\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}}}$$ si \(g(x)=\sum^m_{x=1}\lambda_k\Bbb 1_{]a_j,b_j[}(x)\) une fonction en escalier
Alors l'intégrale de \(g\) est définie par : $$\int^1_0 g(x)\,dx=\sum^m_{k=1} x_k(b_k-a_k)$$

Fonction continue

Théorème :
Soit \(f:[0,1]\to{\Bbb R}\) une fonction continue
Alors il existe \(g_k\) une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément sur \([0,1]\) vers \(f\)

Consigne: Montrer que si \(f:[0,1]\to{\Bbb R}\) est une fonction continue, alors il existe \(g_k\) une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément sur \([0,1]\) vers \(f\)

On découpe le segment \([0,1]\) en \(N+1\) intervalles de taille \(\frac1{N+1}\)

Définition d'une fonction en escalier
Soit $$g(x)=\sum^{N+1}_{j=1}f\left(\frac j{N+1}\right)\Bbb 1_{]\frac j{N+1},\frac{j+1}{N+1}[}(x)+f(1)$$

Pour \(x\in[\frac j{N+1},\frac{j+1}{N+1}[\). Alors $$\lvert g(x)- f(x)\rvert=\left| f\left(\frac jN\right)-f(x)\right|\lt \eta$$ vu que \(\lvert\frac jN-x\rvert\lt \frac1{N+1}\lt \varepsilon\)
Idem à \(x=1\) : \(g(1)=f(1)\)

Conclusion

On a donc bien $$\forall\eta\gt 0,\forall x\in[0,1],\quad\sup_{x\in[0,1]}\lvert g_N(x)-f(x)\lvert\lt \eta$$

(Théorème de Heine)

Affirmation (définition de l'intégrale sur \([0,1]\) pour une fonction continue) : $$\int^1_0f(x)\,dx={{\lim_{N\to+\infty}\int^1_0g_N(x)\,dx}}$$


Intégration complexe
Intégrale impropre - Intégrale généralisée

Sur l'intervalle [0, R]

Définition :
Soit \(f:[0,+\infty[\to{\Bbb R}\) une fonction continue
On dit que \(\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est convergente (ou existe) si et seulement si $$\lim_{R\to+\infty}\int^R_0 f(x)\,dx=\int^{+\infty}_0f\quad\text{ existe}$$

Intégrale généralisée sur l'ensemble des réels

On dit que \(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\,dx\) existe si \(\int^0_{-\infty}f(x)\,dx\) et \(\int^{+\infty}_0f(x)\,dx\) existent
Dans ce cas, on a : $${{\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\,dx}}={{\int^0_{-\infty}f(x)\,dx+\int^{+\infty}_0f(x)\,dx}}$$

(Intégrale - Intégration (Relation de Chasles))

Notation

Notation :
$${{F(b)-F(a)}}={{\left[F(x)\right]^b_a}}$$

Interprétation géométrique

Fonction positive

Interprétation géométrique :
Soit \(f\) une fonction définie, continue et positive sur un intervalle \(I=[a,b]\)
Soit \(\mathscr C_f\) sa courbe représentative dans un plan
L'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est l'aire comprise entre \(\mathscr C_f\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=a\) et \(x=b\)
Notation :
On utilise la notation \(\int^b_af(x)dx\) pour décrire cette aire \(\mathscr A\)
Définition :
Les nombres réels \(a\) et \(b\) sont les bornes de l'intégrale

(Continuité, Fonction positive)

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Fonction négative

Définition (interprétation géométrique) :
Soit \(f\) une fonction définie, continue et négative sur l'intervalle \([a,b]\), alors l'intégrale \(\int^b_af(x)dx\) est égale à l'opposé de l'aire \(\mathscr A\)

(Fonction négative)

Formules utiles

Moyenne d’une fonction

Positivité

Positivité de l'intégrale : $$\begin{align} f\geqslant0&\implies\int^1_0 f\geqslant0\\ f\geqslant\tilde f&\implies\int^1_0\ f\geqslant\int^1_0\tilde f\end{align}$$

(Positivité)

Linéarité

Linéarité de l'intégrale : $$\int^1_0(\lambda f+\tilde f)=\lambda\int^1_0 f+\int^1_0\tilde f$$

(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)

Intégration par parties

Intégration par parties : $$\begin{align}{{\int^1_0 F'}}&={{F(1)-F(0)}}\\ {{\int^1_0 u'v+\int^1_0 uv'}}&={{[uv]^1_0}}\end{align}$$

Proposition :
Si parmi les trois quantités suivantes, $$\int^R_0 u'v,\qquad\int^R_0 uv',\qquad u(R)v(R)$$ deux admettent une limite quand \(R\to+\infty\), alors la troisième admet une limite quand \(R\to+\infty\)

Changement de variable

Changement de variable :
Soit \(\varphi:[0,1]\to[a,b]\) de classe \(\mathcal C^1\) telle que \(\varphi(0)=a\) et \(\varphi(1)=b\)
Alors, si \(f\) est continue de \([a,b]\to{\Bbb R}\), $${{\int^b_a f(x)\,dx}}={{\int^1_0 f(\varphi(x))\varphi'(x)}}$$

Relation de Chasles

Relation de Chasles :
$$\int^b_af(t)dt={{\int^c_af(t)dt+\int_c^bf(t)dt}}$$ où \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(c\in[a,b]\)

Formule de Chasles (intégrale) : $$\int^b_af(x)\,dx=\sum^{N-1}_{k=0}\int^{x_{k+1} }_{x_k}f(x)\,dx\quad\text{ avec }\quad x_k=a+k\frac{b-a}N\quad\text{ pour }\quad0\leqslant k\leqslant n$$
On note la valeur approchée de l'intégrale \(J_k^Q(f)\)

Relation de Chasles :
Si \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) et \(\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt\) convergent, alors : $${{\int^{+\infty}_af(t)\,dt}}={{\int^{a'}_af(t)\,dt+\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt}}$$

Corollaire

Relation de Chasles :
Soient \(a'\in[a,+\infty[\)
Alors \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) et \(\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt\) sont de même nature

Jouer avec les bornes

Corolaire :
Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\)
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I_a\), alors $$\int^{ {{a}} }_{ {{a}} }f(t)dt={{0}}$$$\(\int^b_af(t)dt=-{{\int^a_bf(t)dt}}\)$

Fonction paire

Propriétés :
1. Si \(f\) est continue et paire sur \([-a,a]\), alors $$\int^{ {{a}}}_{ {{-a}} }f(t)dt={{2\int_0^af(t)dt}}$$

(Fonction paire)

Fonction impaire

1. Si \(f\) est continue et impaire sur \([-a,a]\), alors $$\int^{ {{a}}}_{ {{-a}} }f(t)dt={{0}}$$
   
   (Fonction impaire)
   
   

Lien entre primitive et intégrale

Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \([a,b]\)
$$F(x)={{\int_a^xf(t)dt}}$$ est dérivable sur \([a,b]\) et a pour dérivée \(f\), avec \(F(a)=0\)

(Dérivée - Dérivation, Primitive)

Permutation série/intégrale

Si l'intégrale et la somme convergent uniformément, alors $$\int^1_0\sum^\infty_{n=0} f_n(x)\,dx=\sum^\infty_{n=0}\int^1_0 f_n(x)\,dx$$

(Convergence uniforme (suite de fonctions))

Si une suite de fonctions \((f_n)\) mesurable (continue par morceaux) intégrable sur \(I\) satisfait $$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I\lvert f_n\rvert(x)\,dx\lt \infty$$ et \(\sum f_n\) converge presque partout (simplement) sur \(I\), alors $$\int_I\sum^\infty_{n=0}f_n(x)\,dx=\sum^\infty_{n=0}\int_I f_n(x)\,dx$$

(Mesurabilité, Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions), Propriété vraie presque partout sur un intervalle)

Intégrales particulières

Intégrale impropre - Intégrale généralisée
Intégrale curviligne

Exemples

Exemple :
Cherchons l'intégrale \(\int^2_1\frac1{t^2}dt\)
$$\begin{align}\int^2_1\frac1{t^2}dt&=\left[\frac{-1}{t}\right]^{2}_1\\ &= -\frac12+\frac11\\ &=\frac12\end{align}$$

Intégrale de Riemann (Exercices)

Consigne: Soit $$F(x)=\int^x_{0}e^{t^2/2}\,dt$$
Trouver \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x)\) et un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\)

Limite par comparaison
\(e^{t^2/2}\gt 1\) et \(\int^{+\infty}_01\,dt\) diverge, donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x)=+\infty\)

On cherche une fonction \(a(t)\) telle que $$\frac\partial{\partial t}\left( a(t)e^{-t/2}\right)\underset{+\infty}\sim e^{t^2/2}$$

$$a(x)e^{x^2/2}\underset{+\infty}\sim\int^x_0\frac\partial{\partial t}\left( a(t)e^{t^2/2}\right)\,dt\sim F(x)\underset{+\infty}\sim \frac{e^{x^2}}x$$ (car \(\frac\partial{\partial t}(a(t)e^{t^2/2})=\dot ae^{t^2/2}+tae^{t^2/2}\underset{+\infty}\sim e^{t^2/2}\))

Exercices

Permutation série-intégrale

Consigne: Montrer que $$I=\int^1_0\frac{\ln t\ln(1-t)}t\,dt=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac1{n^3}$$
Indication : on a \(\ln(1-t)=\sum^\infty_{n=1}\frac{t^n}{n}\)

Montrons que \(I\) existe \(\to\) séparation de l'intégrale + positivité de l'intégrant
La fonction \(t\mapsto\frac{\ln t\ln(1-t)}t\) est continue sur \(]0,1[\) et donc localement intégrable
On effectue donc la relation de Chasles suivante : $$I=\int_0^{1/2}\frac{\ln t\ln(1-t)}t\,dt+\int^{1}_{1/2}\frac{\ln t\ln(1-t)}t\,dt$$
De plus l'intégrant est positif

$$\frac{\ln t\ln(1-t)}{t}\underset{0^+}\sim\frac{\ln t(-t)}{t}\sim-\ln t=o\left(\frac1{\sqrt t}\right)=o\left(\frac1{t^{1/2}}\right)$$
La première intégrale est donc convergente par équivalence avec une intégrale de Riemann convergente

$$\frac{\ln t\ln(1-t)}t\underset{1^-}\sim\frac{(t-1)\ln (1-t)}t\underset{t\to1^-}\longrightarrow0$$
La deuxième intégrale n'est donc pas généralisée et est donc également convergente
\(I\) existe donc

Séparation (avec reste)
D'après l'indication, on a : \(\ln(1-t)=-\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{t^n}{n}\) $$\begin{align} I&=\int^1_0\frac{\ln t\ln(1-t)}t\,dt\\ &=\underbrace{\int^1_0-\sum^{+\infty}_{n=1}\frac{t^{n-1}}n\ln t\,dt}_{A_n}+\underbrace{\int^1_0 R_N(t)\frac{\ln t}{t}\,dt}_{B_n}\end{align}$$

Intégration par parties
$$\begin{align} A_n&\underset{\text{somme finie}}=-\sum^N_{n=1}\int^1_0\frac{t^{n-1}}n\ln t\,dt\\ &=-\sum^N_{n=1}\left[-\int^1_0\frac{t^n}{n^2}\frac1t\,dt+\xcancel{\left[\frac{t^n}{n^2}\ln t\right]^1_0}\right]\\ &=\sum^N_{n=1}\int^1_0\frac{t^{n-1}}{n^2}\\ &=\sum^N_{n=1}\frac1{n^3}\end{align}$$

Montrer que \(R_N\) tend vers \(0\)
Pour terminer l'exercice, il suffit de montrer que $$\lim_{N\to+\infty}\int^1_0 R_N(t)\frac{\ln t}t\,dt=0$$
$$\begin{align} R_N(t)&=-\sum^{+\infty}_{n=N+1}\frac{t^n}{n}\\ \lvert R_N(t)\rvert&=\sum^\infty_{n=N+1}\frac{t^n}n\\ &\leqslant\frac1{N+1}\sum^\infty_{n=N+1}t^n=\frac{t^{N+1}}{N+1}\frac{1}{1-t}\longrightarrow0\end{align}$$

\(B_n\longrightarrow0\)

$$\begin{align}\lvert B_N\rvert&=\left|\int^1_0 R_N\frac{\ln t}t\,dt\right|\\ &\leqslant\int\frac{t^{N+1}}{N+1}\frac{\lvert\ln t\rvert}{1-t}\,dt\\ &\leqslant\frac1N\int^1_0\frac{\lvert \ln t\rvert}{1-t}\,dt\end{align}$$
\(\int^1_0\frac{\lvert\ln t\rvert}{1-t}\,dt\) converge d'après les étapes précédentes, elle est donc bornée et, puisque \(\frac1N\longrightarrow0\), on a \(\lvert B_n\rvert\longrightarrow0\)

(Intégrale - Intégration (Intégration par parties), Théorème de comparaison)

Consigne: Pour \(n\geqslant0\), on considère $$a_n=\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx$$ une suite décroissante et convergente vers \(0\)
Montrer que $$a_n+a_{n+2}=\frac1{n+1}\quad\text{ et }\quad a_n+a_{n+2}\leqslant 2a_n\leqslant a_n+a_{n-2}\quad\text{ pour }\quad n\geqslant2$$
1i: Changement de variable \(u=\arctan x\)

Inégalité obtenue car \((a_n)_n\) décroissant

$$(a_n)_n\text{ décroissante}\implies a_{n+2}\leqslant a_n\leqslant a_{n-2}\qquad\checkmark$$